1 Решить систему линейных уравнений с помощью правил крамера

Блог

Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений

общее решение неопределенной СЛУ, где — любое действительное число.

2.Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений.

1.Если , то система имеет единственное решение

Решение. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений. Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Поэтому система имеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений .

Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений: .

Пример 3.Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

2. Если , а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система не имеет решений.

Решение. Определитель системы равен нулю: , но один из вспомогательных определителей не равен нулю: , значит, СЛУ не имеет решений.

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Пусть переменные x4 и x5 будут свободными, тогда переменные x1, x2 и x3 будут основными (или базисными). Их мы оставим в левой части:

1 Решить систему линейных уравнений с помощью правил крамера

Следовательно, обратная матрица найдена правильно.

Решение. Находим определитель основной матрицы системы:

Записываем упрощенную систему уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы, а затем при помощи элементарных преобразований строк приведем ее трапециевидной форме:

Решение. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде:

Теперь выписываем соответствующую укороченную систему уравнений. Из последнего уравнения находим значение z и подставляем его во второе уравнение. После этого из второго уравнения находим y. Найденные значения y и z подставляем в первое уравнение, из которого затем находим значение x:

3) Находим все алгебраические дополнения транспонированной матрицы:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Составим и вычислим определитель : — система имеет одно решение, можно применить теорему Крамера

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Тема 3 системы линейных уравнений

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

Найдем значения xиyпо формулам Крамера

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Тема: Системы линейных уравненийСистема линейных уравнений

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

3) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , ико второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: .

Решение:Найдем сумму первого и второго уравнений системы, получим , тогда Найдемyиз первого или второго уравнений системы, получим Из третьего уравнения имеем Решение данной системы:

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатовпоследователени обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО: Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Выпишем матрицу коэффициентов и матрицу-столбец свободных членов

3) Из второй строки отнимаем первую, умноженную на два:

2) Из первой отнимаем вторую, умноженную на два, третью строку делим на -6:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов:

База решенных примеров по высшей математике

3. Решить систему алгебраических уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса

Из первого уравнения имеем , из третьего — из второго получаем

1. Решите систему уравнений по формулам Крамера

Далее заменим в матрице А первый столбец матрицей-столбцом В и вычислим определитель:

2. Решите систему уравнений по формулам Крамера

1) Из третьей строки отнимаем первую и вторую, из четвертой первую:

Далее заменим в матрице А второй столбец матрицей-столбцом В и вычислим определитель:

Пример 1.7. Решить систему линейных уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).

Эта тройка чисел будет являться единственным решением системы.

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком виде:

Матрица А –1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если выполняется равенство AA –1 = A –1 A = E. Только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля: detA¹0.

Решение. Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Теорема Крамера. Квадратная система линейных неоднородных уравнений n-го порядка с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (D¹0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна.

Это есть формулы Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

1) Вычисляем определитель исходной матрицы: .

Теперь, используя найденную обратную матрицу можно найти решение исходной системы:

Таким образом, чтобы найти решение системы, нужно вычислить обратную матрицу

Системы линейных уравнений

Следовательно, решение найдено правильно.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (xs) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда ars ¹ 0. Коэффициент ars называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z:

(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Правые части системы yi (i = 1, 2,…, m) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

1) Найдем алгебраические дополнения Aij:

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x:

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

Таким образом, новые коэффициенты r-го уравнения вычисляются по следующим формулам:

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Если в главном определителе произвольный (j-ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: