Пример решения задач на закон сохранения энергии

Блог

Согласно третьему закону Ньютона сила, подействовавшая на топливо, равна по модулю и противоположна по направлению силе, подействовавшей на ракету, т. е. реактивной силе = — p. Следовательно, искомая сила

Закон сохранения импульса целесообразно применять для решения тех задач, в которых требуется определить скорость, а не силу или ускорение.

Запишем это уравнение в проекциях на оси ОХ и OY, проведённые так, как показано на рисунке 4.3:

Тогда сила, подействовавшая на горючий газ, вырывающийся из сопла ракеты,

3. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газов относительно ракеты меньше скорости самой ракеты и вытекающие из сопла газы летят вслед за ракетой?

После абсолютно неупрутого удара шары движутся с одной и той же скоростью . Так как вдоль оси ОХ внешние силы не действуют (трения нет), то сумма проекций импульсов на эту ось сохраняется (сумма проекций импульсов обоих шаров до удара равна проекции общего импульса системы после удара):

Согласно закону сохранения импульса имеем

C1. Камень массой m1 = 4 кг падает под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с в тележку с песком, покоящуюся на горизонтальных рельсах (см. рис.). Чему равен импульс тележки с песком и камнем после падения камня?

C4. Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а второй — через 80 с после разрыва. Определите отношение масс осколков.

2. На плот массой 100 кг, имеющий скорость 1 м/с, направленную вдоль берега, прыгает человек массой 50 кг со скоростью 1,5 м/с перпендикулярно берегу. Определите скорость плота с прыгнувшим на него человеком.

При решении некоторых задач приходится использовать дополнительно уравнения кинематики.

1. Неподвижный вагон массой 2 • 10 4 кг сцепляется с платформой массой 3 • 10 4 кг. До сцепки платформа имела скорость 1 м/с. Чему равна скорость вагона и платформы после их сцепки?

Для нахождения скорости маятника необходимо применить закон сохранения или изменения энергии. Для этого:

3. Так как в дальнейшем потребуется определять потенциальную энергию, то надо выбрать нулевой уровень ее от­счета. В качестве такового вы­берем поверхность Земли.

Выясним, в чем состоит метод решения задач, опирающийся на изученные в механике энергетические законы. А таких законов два: закон изменения механической энергии и закон ее сохранения или . Попытаемся, опираясь на эти законы, решить несколько задач и на этой основе сконструировать алгоритм.

Пример решения задач на закон сохранения энергии

5. Найдем значение энергии и и подставим в уравнение(16.7):

А теперь решим еще две задачи, в которых кроме закона сохранения (изменения) энергии используются ряд других законов.

4. Выясним, какие силы действуют на тело в процессе его движения. При переходе тела из состояния 1 в состояние 2 действуют потенциальные и непотенциальные силы. Потенциальные силы – сила реакции опоры (один из видов силы упругости, — потенциальная сила), сила тяжести . Непотенциальные силы — сила тяги , сила трения Следовательно, необходимо применить закон изменения энергии. В нашем случае его можно записать следующим образом (действуют две непотенциальные силы)

Решение: 1. Выберем систему отсчета – «Земля».

Попытайтесь решить эту задачу кинематически (считая угол известным), чтобы убедиться, насколько энергетический метод упрощает решение.Прочитав решение задачи, выделите и сформулируйте основные действия (предписания алгоритма), из которых складывалось решение.

Задача 3. Маятник массой 5 кг отклонен на угол от вертикали. Какова сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия?

Задача 1. Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту со скоростью . Найдите его скорость на некоторой высоте , если сопротив­ление воздуха пренебрежимо мало.

Решение: 1. Выберем систему отсчёта. Система отсчёта – «Земля».

4. Выясним, какие силы действуют на тело в процессе его движения. Как говорилось выше, на тело действуют сила тяжести , сила натяжения нити , которые являются потенциальными. Следовательно, применим закон сохранения механической энергии. Запишем его в виде

Решение: При подъёме тела на максимальную высоту кинетическая энергия расходуется на преодоление сил сопротивления и переход в потенциальную энергию: .Ответ: 25Дж

Основные законы математического маятника:

В состоянии наибольшего отклонения тела от положения равновесия: .

Приравняйте выражение а) 0, если система замкнута; б) импульсу (работе) внешних сил, если система не замкнута.

Гармонические колебания описываются формулами:

Алгоритм решения задач на законы сохранения импульса и энергии

Свободными называются колебания, которые после возбуждения происходят без внешних воздействий.

Колебаниями в механике называют движение тела, которое точно или приблизительно точно повторяется через одинаковые промежутки времени.

Один оборот по окружности называют циклом. Циклическая частота колебаний есть число колебаний, совершаемых за секунд. – обозначение циклической частоты , .

Механические колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно ему, являются гармоническими колебаниями.

Механическим колебаниями называются такие движения тел, при которых через равные интервалы времени координаты движущегося тела, его скорость и ускорение принимают исходные значения.

Основные величины, характеризующие колебательное движение:

система должна находиться вблизи положения устойчивого равновесия;

Задача 5.4. Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу массой m2 = 8 кг и упруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были J1 = 3 м/с и J2 = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости тел u1 и u2 после удара?

5.9. Частица массы m1 налетает со скоростью J1 на покоящуюся частицу, масса которой m2 = 3m1. Про­исходит абсолютно упругое соударение, после ко­торого частица m2 движется под углом q = 45° к первоначальному направлению движения частицы m1 (см. рисунок). Требуется найти q1 — угол откло­нения первой частицы и величины скоростейu1 иu2.

4. До взаимодействия: После взаимодействия:

5.1. Автомобиль массой m = 2тдвижется в гору с уклоном 4 мна каждые 100 м пути. Коэффициент трения к = 0,08. Найти работу А, совершаемую двигателем автомобиля на пути s = 3 км был пройден за время t = 4 мин. (Ответ: А = 7 МДж; N = 29,2 кВт).

Вычисления производим в Международной системе единиц СИ:

в) Кинетическая энергия, которую тело имеет у основания наклонной плоскости, переходит в работу против силы трения на горизонтальной поверхности, то есть Т = k×m×g×s, то

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ»

Задача 5.2. Груз положили на чашку весов. Сколько делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает 5 делений?

4. Решая совместно систему уравнений относительно n2:

5. Проекция внешней силы (силы тяжести) на ось ОХ равна нулю, то система закрыта в проекции на данную ось.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА»

Задача 4. Определите скорости двух шаров массами m1 и m2 после центрального абсолютно упругого удара. Скорости шаров до удара υ1 и υ2 соответственно.

2. Устройства для совершения механической работы (принципиальные схемы, макеты).

Запишем уравнение (1) в проекции на ось X (рис. 5.18) (предположим, что шары после удара разлетаются в разные стороны):

С2. Брусок массой m1 = 600 г, движущийся со скоростью 2 м/с, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 200 г. Какой будет скорость первого бруска после столкновения? Удар считайте центральным и абсолютно упругим.

1. Выпишите основные понятия и физические величины и дайте им определение.

Для определения h применим закон сохранения механической энергии, считая, что в положении 2 потенциальная энергия системы «тело—Земля» равна нулю. Тогда в положении 1 система имеет потенциальную энергию Еп = mgh, где h — высота тела относительно нулевого уровня. В положении 2 тело обладает лишь кинетической энергией Ек = mυ 2 /2.

Так как по условию задачи силой сопротивления можно пренебречь, то считаем, что на мяч действует только консервативная сила — сила тяжести, и, следовательно, полная механическая энергия мяча сохраняется:

Направление силы упругости противоположно направлению деформирующей силы, а по модулю эти силы равны, поэтому Aупр = -1 Дж.

Задача 2. Недеформированную пружину растягивают на Δl = 10 см. Определите работу деформирующей пружину силы и силы упругости пружины, если для растяжения пружины на Δl0 = 1 см требуется сила F0 = 2 Н.

С1.Груз массой 100 г привязан к нити длиной 1 м. Нить с грузом отвели от вертикали на угол 90° и отпустили. Чему равно центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол 60°?

Запишем этот закон в проекции на ось OY (см. рис. 5.17): Т — mg = mа, где а = υ 2 /l. Учитывая, что Т = 2mg, получаем mg = mа, υ 2 = gl.

2. Груз массой 97 кг перемещают с помощью верёвки с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности. Угол между верёвкой и этой поверхностью равен 30°. Коэффициент трения равен 0,2. Определите работу силы натяжения верёвки на пути 100 м.

Для циклического процесса, который состоит из изохоры, изобары, снова изохоры и ещё одной изобары (см. рис. к задаче 1 1 ) найти КПД цикла.

2) Работа за цикл находится уже рассмотренным в предыдущем примере

Количество теплоты, получаемое газом от нагревателя за время Δ t Δt , можно записать так:

1) Так как объём газа увеличивается, и давление тоже растёт, то:

Для получения коэффициента полезного действия необходимо найти: 1) количество теплоты, потраченное (оно же получено рабочим телом) на проведение цикла, и 2) положительную работу, совершенную за цикл.

Минус указывает на убыль массы воздуха в комнате.

Тогда возникает вопрос целесообразности отопления зданий, ведь внутреннюю энергию при этом мы не увеличиваем. Ответ на вопрос лежит совсем в другой области: увеличение температуры воздуха помогает нашему организму терять меньше энергии (закон Фурье) и тем самым поддерживать скорость химических реакций обмена веществ в организме (метаболизм) на необходимом комфортном уровне.

на втором процессе – изобарном расширении:

Для нахождения работы за цикл можно складывать не работы, а количества теплоты, потраченные в отдельных процессах цикла. Докажем это:

2) Молярная теплоёмкость процесса определяется отношением:

Любопытно заметить, что процесс нагрева воздуха проходит так, что его описание совпадает с процессом изобарного нагрева.

Из текста задачи следует, что процесс нагрева газа идёт изобарно (находится в цилиндре под поршнем). Молярная теплоёмкость в таком процессе равна c p = ( i 2 + 1 ) R = 7 2 c_p = ( + 1) R = <7\over 2>.

При этом соударения могут быть центральными и нецентральными

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, доска.

Воспитательные:

  • воспитание понимания необходимости сотрудничества в процессе совместного выполнения задач, уважительного отношения к мнению оппонента при обсуждении проблем естественнонаучного содержания;
  • воспитание чувства личной ответственности за результаты совместной деятельности.
  • Ударом (соударением, столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения.

    Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей образуют треугольник, а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, то есть он прямоугольный. Искомый угол – это угол между катетами, т.е. он равен 90°.

    6. Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел. Слайд № 11

    Применим закон сохранения импульса в векторном виде с учётом равенства масс:

    4. Повторим закон сохранения энергии (вызвать учащихся к доске). Cлайд № 8–9

    Решение задач на законы сохранения импульса и энергии (10-й класс)

    8. Групповая работа: решение задач по карточкам.

    Дидактический материал: карточки-задания для групповой работы.

    5. Решим задачу Х. Гюйгенса: нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости. Cлайд № 10

    Образовательные:

    • создание условий для глубокого усвоения системы знаний по законам сохранения в механике;
    • закрепление навыков решения физических задач.
    • Примеры решения задач 1 страница

      Как следствие из закона сохранения механической энергии, получается следующее соотношение для импульсов шаров:

      Как видно, относительная доля превращающейся энергии определяется отношением масс сталкивающихся тел:

      где , , , , , ( и – скорости тел после столкновения).

      Приравняв в последнем соотношении ε=ε0, найдем значение для минимальной прочности веревки

      Решение. В процессе столкновения на шайбу действуют сила реакции горизонтальной поверхности , сила трения скольжения и сила тяжести . Запишем основной закон динамики:

      Задача 25. Растяжение страховой веревки подчиняется закону Гука, пока относительное растяжение не превышает значения ε0=0,2 (момент обрыва). Оцените минимальную прочность страховой ве­рёвки, при которой альпинист может уцелеть при падении с высоты l. Масса альпиниста равна m=77кг. Сопротивлением воздуха пренеб­речь.

      Решение. Проанализируем физическую ситуацию. Каждое из тел находится под воздействием четырех сил: силы тяжести , силы реакции , силы трения покоя Fтр=mN и упругой силы со стороны пружины F=kDx0, где – начальная деформация пружины.

      Запишем законы сохранения импульса и энергии для неупругого центрального столкновения тел:

      Полученное решение содержит предельные случаи абсолютно упругого столкновения ( ) и абсолютно неупругого столкновения ( ). Убедитесь в этом самостоятельно.

      Подставив значение ux в выражение для ΔЕ, получаем

      где – импульс и кинетическая энергия налетающего шара до столкновения, – импульс и кинетическая энергия налетающего шара после столкновения, – импульс и кинетическая энергия неподвижного шара после столкновения.

      Т.к. Q<Qн,то это означает, что при столкновении тела не слипаются.