Таблица правил интегрирования

Блог

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение —

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) — кубический корень, exp(x) — экспонента, ln(x) — натуральный логарифм, sin(x) — синус, cos(x) — косинус, tan(x) — тангенс, cot(x) — котангенс, arcsin(x) — арксинус, arccos(x) — арккосинус, arctan(x) — арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infty. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x — ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

∫ e x cosxdx = e x sinx — ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = — e x cosx + e x sinx — ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = — e x cosx + e x sinx + С.

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

Основные методы интегрирования

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

1. Вынесение функции из-под знака дифференциала.

Задание 1. Вычислить неопределенный интеграл:

Таблица правил интегрирования

[ сделаем замену и воспользуемся табличным интегралом №2]

Если возникает необходимость домножить какую-либо часть выражения на константу, то тут же необходимо выполнить обратное действие, т.е. деление, на ту же константу.

4. Под знаком дифференциала можно прибавлять или отнимать любую константу (частный случай второго правила).

но, по предыдущему правилу, в знаменателе первое слагаемое должно быть равно переменной дифференцирования, возведенной в квадрат. Проведем соответствующие преобразования: домножим под знаком дифференциала на 3 и поделим интеграл на 3. Т.к. уже сказано, что множитель-константу можно выносить как за знак дифференциала, так и за знак интеграла, а также можно вносить его обратно, то не принципиально где выполнить обратное действие. В данном случае удобнее уравновешивающий коэффициент поставить перед интегралом.

[ Сделаем замену ] [ Воспользуемся табличным интегралом №2] [Сделаем обратную замену]

3. Множитель-константу можно выносить за знак дифференциала и вносить под него (частный случай первого и второго правил).

Задание 3. Вычислить неопределенный интеграл:

Замечание: Вне зависимости от уровня знаний правил и приемов интегрирования настоятельно рекомендуется заучить следующие равенства, чаще всего используемые в тестовых заданиях:

Примеры применения основных правил интегрирования.

Если в табличной формуле некоторые её части обозначены одинаковыми символами, то и в выражении, к которому будет применена эта формула, соответствующие части должны быть одинаковые.

Интегрирование является значительно более сложным действием, чем дифференцирование, поскольку для отыскания первообразных нет таких универсальных правил и формул, как в дифференциальном исчислении.

Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования (т.е. подстановки) удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным или легко находится другим способом. Общих методов подбора подстановок не существует. Рассмотрим некоторые варианты подстановок.

Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)

При непосредственном интегрировании могут представиться три случая.

Метод непосредственного интегрирования

I. Интеграл находят непосредственно по соответствующему табличному интегралу.

III. Интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам в результате элементарных тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Методы интегрирования сводятся к указанию ряда приемов, приводящих данный интеграл к табличному. К наиболее важным методам интегрирования относятся: непосредственное интегрирование, замена переменной (метод подстановки) и интегрирование по частям.

I. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»).

II. Интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам в результате применения свойств неопределенного интеграла.

Интегрирование, основанное на прямом использовании таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

Док- во. Так как функции F(x) и F1(x) — первообразные для f(x), то (по теор. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство d. F(x) = f(x) dx. Из этих свойств следует, что если F(x) — некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т. F(x) + C, где C — произвольная постоянная. Опр. 1. 0. 2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Операция. интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций. Пуассона; , — интегралы Френеля; , , — интегральные синус, косинус, логарифм. Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например, . Примеры применения правил 1,2. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле.

Например, . Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого . При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую). Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов — рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметраn, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям.

Часто ее записывают в производных (dv. Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде .

Читать дальше: методы нахождения неопределенных интегралов.

Ниже выписана основная таблица неопределенных интегралов, в данной таблице приведены неопределенные интегралы от основных функций.. Неизменными спутниками таблицы интегралов являются — таблица производных и формулы производных, которые также в полном виде представлена у нас на сайте.

Рассмотрим (интеграл №1. Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ). Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: .

Полная таблица неопределенных интегралов (первообразных). Высшая математика. _ Таблица неопределенных интегралов. По материалам ‘Справочник по высшей математике’ М.Я.Выгодского.

Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям. Интегралы вида , , , где Pn(x) — многочлен n- ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n- кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.

Интегралы , где — трансцендентная функция, имеющая дробно- рациональную или дробно- иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = Pn(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала неf(x), а её производная. Пример: . Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры: Найти (это интеграл №1.

Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция. Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим. Свойства первообразной. Если функция F(x) — первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C — произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. Док- во: ). Если функция F(x) — некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C — постоянная на X функция.

Неопределенный интеграл. Неопределённый интеграл. Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов.

(4) Первый интеграл находим по формуле 1) таблицы интегралов, а в трёх других выносим постоянные за знак интеграла (основное правило интегрирование 2)).

В этом примере уже указана замена переменной .

(4) В каждом из слагаемых под знаком интеграла пользуемся свойством степеней ( ).

Для решения упражнений по теме «Интегрирование» рекомендуется следующая литература:

(1) Перемножаем две скобки под знаком интеграла.

(2) Воспользуемся формулой 6) Таблицы интегралов. В нашем примере .

(6) Пользуемся формулой 1) Таблицы интегралов.

(6) Пользуемся формулами 10) и 11) Таблицы интегралов.

(3) Почленно делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.

Нахождение неопределённых интегралов с помощью основных правил интегрирования и таблицы неопределённых интегралов

(1) Поменяем два слагаемых местами в знаменателе подынтегрального выражения, чтобы получить табличный интеграл.

Интегрирование методом замены переменной

Теорема 1 . Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид

Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

Определение 2 . Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

Правило 2 (интеграл от суммы функций) . Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.

Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx » .

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Определение 1 . Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

Здесь и далее u, v, w – функции от переменной интегрирования x .

Если удастся подобрать такую функцию φ ( x ) от x , так что

Пусть c – постоянная, не зависящая от x . Тогда ее можно вынести за знак интеграла.

Далее замечаем, что подынтегральные функции новых интегралов умножены на постоянные 5, 4, и 2 , соответственно. Применяем метод 2.

Основные формулы и методы интегрирования

то, выполнив замену переменной t = φ(x) , имеем

2) Вынесение постоянной за знак интеграла.

где u и v – это функции от переменной интегрирования.

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов – это, путем преобразований, привести заданный интеграл к простейшим интегралам, которые называются табличными. Табличные интегралы выражаются через элементарные функции по известным формулам.

Ниже перечислены четыре основных метода интегрирования.

Применяем формулу интегрирования по частям.

Замечаем, что подынтегральная функция является суммой и разностью трех членов:

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Таким образом, используя равенства и можно из таблицы производных основных элементарных функций составить таблицу первообразных.

Непосредственное интегрирование базируется на использовании свойств неопределенных интегралов , , правила интегрирования и таблицы первообразных.

Для примера найдем неопределенный интеграл степенной функции .

Используем таблицу дифференциалов , следовательно, по свойствам неопределенного интеграла имеем . Поэтому или в другой записи

Напомним таблицу производных, запишем ее еще в виде дифференциалов.

Найдем множество первообразных степенной функции при p = -1 . Имеем . Обращаемся к таблице дифференциалов для натурального логарифма , следовательно, . Поэтому .

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то

Формулы из левого столбца таблицы называют основными первообразными. Формулы из правого столбца основными не являются, но очень часто используются при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов).

Коэффициент 3 можно вынести из-под знака интеграла на основании свойства:

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Пришло время обратиться к таблице первообразных:

Преобразуем подынтегральную функцию (по формулам тригонометрии):