В чем заключается правило параллелограмма сложение

Блог

4. Определить, в чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов.

Создать условия для введения понятий суммы трех и более векторов, разности векторов, для обучения построению суммы двух и нескольких векторов с использованием правила многоугольника, разности векторов

Развивать умения работать самостоятельно (используя текст учебника, разобрать новый материал)

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

3. По рис. 254 в учебнике рассмотреть построение суммы шести векторов.

1. Начертите пять попарно неколлинеарных векторов Постройте вектор

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

(И) 2. Самостоятельная работа (письменно). Работа выполняется на листках и сдается учителю на проверку.

2. Дать понятие о том, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Вектор, сумма векторов, правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника, разность векторов

Выявить уровень усвоения теоретического материала

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

В механике существуют два типа величин:

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

    Результирующая сила вычисляется следующим образом:

    Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.
  • 1. Правило треугольника. Для любых точек A , B , C : + = , где , = – данные векторы. Т. е. это сложение по определению, векторы откладываются последовательно.

    Т. е. для сложения трёх векторов следует сложить два из них и прибавить к полученному третий.

    В чем заключается правило параллелограмма сложение

    § 3. Сложение и вычитание векторов. Свойства

    Для сложения n векторов существует правило многоугольника, которое состоит в следующем: = ((( + )+ )+…+ )+ .

    Замечание 1 . Определение разности и теорема 4 показывают, что любой вектор можно перенести из одной части векторного равенства в другую с противоположным знаком.

    Теорема 4. Сумма векторов и не зависит от точки A .

    Теорема 5 . Разность двух векторов и деляется однозначно.

    1. Согласно определению — = т.к. + = направлен от вычитаемого к уменьшаемому;

    для просмотра анимации нажми на рисунок

    Определение. Суммой векторов = и = называется вектор = + = + = .

    Решение а) Так как $\overrightarrow <ВА>— \overrightarrow <ВС>= \overrightarrow<СА>\text< , а >|\overrightarrow<СА>| = а\text< , то >|\overrightarrow <ВА>— \overrightarrow<ВС>| = а$ .

    б) Так как $\overrightarrow + \overrightarrow <ВС>= \overrightarrow <АС>\,\,,\,\, то\,\, |\overrightarrow <АВ>+ \overrightarrow<ВС>| = |\overrightarrow<АС>| = АС$ .

    Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $ AC = \sqrt = \sqrt <9 + 16>= 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow <АВ>+ \overrightarrow<ВС>| = 5. $

    Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow <|АВ|>+ \overrightarrow<|ВС|>;\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow <АВ>+ \overrightarrow<ВС>|$ .

    а) Имеем: $|\overrightarrow<АВ>| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow<ВС>| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow<АВ>| + |\overrightarrow| = 7$ .

    Решение. Сумма векторов $\overrightarrow <ОА>+ \overrightarrow <АВ>+ \overrightarrow <СВ>= \overrightarrow<ОС>$ , вектор $\overrightarrow$ — противоположный вектору $\overrightarrow<ОС>$ . Поэтому $\overrightarrow <ОС>+ \overrightarrow <СО>= \overrightarrow<0>$ .

    Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow <ВА>— \overrightarrow<ВС>|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow <АВ>— \overrightarrow<АС>|$ .

    Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow <ОА>+ \overrightarrow <АВ>+ \overrightarrow <ВС>+ \overrightarrow <СО>= 0$ .

    б) Так как $\overrightarrow <АВ>— \overrightarrow <АС>= \overrightarrow<СВ>\text< , а >|\overrightarrow<СВ>| = а\text< , то >|\overrightarrow <АВ>— \overrightarrow<АС>| = а$ .

    Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

    Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

    Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..
  • А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

    Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

    Угол между результирующей силой и первой силой равен:

    • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
    • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
    • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.
    • α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

      Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

      Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

      Сложение векторов

      Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

      Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение.

      Правило умножения любого числа на ноль

      Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

      Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй. Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

      У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

      Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего, а когда у вас ничего нет, то сколько ни умножай — всё равно будет ноль. Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

      Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

      Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

      Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

      Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

      Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

    • Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
    • Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
    • Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

    Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!», — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

    При этом углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором против хода часовой стрелки.

    3 Правило многоугольника. Если векторы расположить так, чтобы начало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, то суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало самого первого вектора с концом последнего

    Если привести векторы к общему началу и построить на них параллелограмм, то диагональ параллелограмма, не выходящая из общего начала, является разностью векторов, т.е. разность векторов – вектор, проведённый из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.

    Опр.10 Проекцией точки М на ось l называется основание М1

    Если задана система координат на плоскости и в пространстве, то начало вектора можно всегда совместить с началом координат, не меняя при этом длину и направление. Выделим на координатных осях единичные векторы и обозначим .Выберем произвольный вектор . Найдем проекции вектора на координатные оси.

    Проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом заключается их геометрический смысл.

    перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.

    4) для каждого вектора существует вектор такой, что вектор называется противоположным вектору и обозначается , т.е. =- .

    Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения с осями обозначим соответственно через М123. Получили прямоугольный параллелепипед, одной диагональю которого является .

    Относительно сложения имеют место законы:

    Правило 6.Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , а направление совпадает с вектором , если , и противоположное, если .

    Правило 5 Разностью двух векторов и называется третий вектор ,который в сумме с вектором даёт вектор .

    Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).

    Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат (см. Рис. 4).

    Отложим из произвольной точки вектор , из его конца отложим вектор , получим в результате вектор (см. Рис. 7).

    Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор , который будет равен по длине, но противонаправлен. Сумма противоположных векторов всегда есть нулевой вектор: . Таким образом, .

    Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.

    На данном уроке мы изучим операции сложения и вычитания векторов, сформулируем правила треугольника и параллелограмма, кроме того, выведем законы сложения векторов.

    Откладываем из точки А вектор и вектор . Из точки В откладываем вектор , вектора и равны, а значит, стороны ВС и АВ1 четырехугольника АВСВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. , таким образом, мы доказали переместительный

    Теперь пусть задано два вектора – вектора и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: (см. Рис. 1).

    Разностью двух векторов и называют такой третий вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

    На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.

    Сложение и вычитание векторов

    По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.

    Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.