Закон максвелла распределения молекул по скоростям

Блог

где f(u) называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.

функция распределения молекул идеального газа по скоростям.

Из уравнений (1) и (2) следует вид функции :

1. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.

Из (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и температуры.

Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.

Если вид функции известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от до .

— равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к

Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:

— распределение Максвелла показывает, какая доля общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от до .

В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.

Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул DN будет обладать скоростями в интервале оти ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул значение скоростей будет лежать в указанном интервале.

1. Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.

Одновременно кривая становится более плоской (площадь, заключенная под кривой, не может измениться, так как число молекул N остается постоянным).

График функций распределения (рис. 8.5) асимметричен. Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной скоростью um. Скорости, превышающие um, встречаются чаще, чем меньшие скорости. С повышением температуры максимум распределения сдвигается в направлении больших скоростей.

С помощью теории вероятности Максвеллу удалось вывести формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений.

Для определения наиболее вероятной скорости нужно исследовать на максимум функцию распределения Максвелла (приравнять первую производную к нулю и решить относительно u). В результате получаем:

Из (8.32) получим выражения для среднего значения модуля скорости u и среднего значения квадрата u:

3. Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение.

Квадратный корень из выражения (8.34) дает среднюю квадратичную скорость молекул:

Мы опустили множители, не зависящие от u. Осуществив дифференцирование, придем к уравнению:

Распределение Максвелла показывает, какая доля dN/N общего числа молекул данного газа обладает скоростью в интервале от u до u + du.

Таким образом, средняя скорость молекул (ее называют также средней арифметической скоростью) имеет значение:

где N – общее число молекул газа; – число молекул, скорости которых заключены в определенном интервале; u – нижняя граница интервала скоростей; du – величина интервала скоростей; T– температура газа; e = 2,718… – основание натуральных логарифмов;

Из формулы (28) следует, что при повышении температуры максимум f(v) сместится вправо, в сторону больших скоростей.

1.6.1. Распределение Максвелла по модулю скорости молекул

Кроме наиболее вероятной и средней квадратичной скорости молекул газа, которые определяются по формулам (28) и (18), используется также средняя скорость молекул <v> или средняя арифметическая скорость. Она определяется по формуле

На рис.4 представлен вид функции f(v) для двух температур. Характерно, что f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vВ и затем асимптотически стремится к нулю.

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям

Подставляя f(v) [cм.(24)] и интегрируя , получим

Итак существуют три формулы для определения скорости молекул газа: (18), (28), (30). Согласно этим формулам

Функция характеризует плотность вероятности того, что скорость молекулы равна v, и поэтому эта функция удовлетворяет условию нормировки

Исходя из распределения молекул по скоростям (24), можно найти распределение молекул газа по кинетическим энергиям поступательного движения молекул Wк=m0v 2 /2. Это распределение характеризуется функцией f(Wк), которая вводится аналогично f(v)

Максвелл показал, что эта функция имеет вид

Обозначим через dNv число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, тогда dNv/N – характеризует относительное число этих молекул. Принято вводить функцию распределения молекул по скоростям

Скорость, при которой функция распределения молекул по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью vB. Исследование (24) на максимум позволило найти наиболее вероятную скорость молекул

Относительное число молекул dNV/ N , скорости которых лежат в интервале от v до v+dv находится как площадь dS заштрихованной полоски на рис. 4. Площади, ограниченные кривыми, согласно (26), одинаковы и равны единице.

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей– функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем , где – произвольное действительное число.

Функция распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до .

3) Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение;

Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию –закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

Закон Максвелла 28 о распределении молекул идеального газа по скоростям

1) Идеальный газ состоит из большого числа одинаковых молекул;

На языке теории вероятности, есть плотность вероятности того, что молекула имеет скорость, лежащую в интервале от до . Тогда сама вероятность описывается выражением: .

Абсолютная величина скорости молекул, а также проекции скорости на любую ось могут принимать непрерывные значения от нуля до бесконечности. Значит, должна существовать непрерывная функция распределения скоростей , показывающая относительное количество молекул, движущихся в единичном интервале скоростей со скоростью, близкой к скорости .

Впервые найти функцию распределения по скоростям удалось Д.Максвеллу, который исходил из следующих предположений:

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число молекул однородного одноатомного идеального газа из общего числа его молекул в единице объёма имеет при данной температуре скорости, заключенные в интервале от до .

Распределение Ма́ксвелла – распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию.

Идеальный газ – система из большого числа свободных невзаимодействующих частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении, часто сталкивающихся друг с другом. Поэтому в газе при постоянных внешних параметрах устанавливается равновесное состояние, которому соответствует определённое распределение частиц в пространстве по направлениям движения и скоростям. При равновесии средние скорости и число частиц, движущихся в разных направлениях, оказывается одинаковым, о чём свидетельствует отсутствие направленного потока газа при равновесии.

Функция распределения, основное понятие статистической физики; характеризует плотность вероятности распределения частиц статистической системы по фазовому пространству т.е. по координатам и импульсам в классической статистической физике или вероятность распределения по квантовомеханическим состояниям в квантовой статистике.

По молекулярно-кинетической теории, как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя кинетическая энергия, а следовательно и средняя квадратичная скорость молекул массой m в газе, находящемся в состоянии равновесия, при постоянной температуре остается неизменной и рассчитывается по формуле (7).

где  – плотность газа на высоте h, а изменение dh настолько мало, что плотность газа можно считать постоянной, тогда

Закон максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения

Молекулы любого газа находятся в постоянном потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение с одной стороны и тепловое движение молекул с другой с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Пологая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова, пусть на высоте h атмосферное давление равно P, тогда на высоте h + dh оно равно P + dP. При dh больше нуля dP должно быть меньше нуля, т.к. давление с высотой убывает.

Р азность давленийP и P + dP равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м 2 , тогда

Выражение (2) определяет параметрическую формулу. Если обозначить высоту относительно уровня моря, где давление считается нормальным, тогда выражение (2) можно записать в виде

Средняя арифметическая скорость определяется по формуле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью.

где dN(E) – это число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от E до E + dE. Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения имеет вид:

Из формулы (2) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа, т.е. от массы молекулы и от параметра состояния T. Приведем график функции (2):

скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, т.е.

уменьшается гораздо быстрее, чем растет множитель v 2 , поэтому функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vв и затем асимптотически стремится к нулю. Относительное число молекул

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), названной функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на интервалы равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул

где (dN() — число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от  до +d.

Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).

График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель v 2 , то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vв и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно vв.

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная vв=2RT/М; 2) средняя <v>=8RT/(М)=1,13vв; 3) средняя квадратичная <vкв> =3RT/М =1,22vв (рис.65).

Таким образом, функция распределения молекул по энергиями теплового движения

и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировки

Значения v=0 и v= соответствуют минимумам выражения (44.1), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость vв:

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v)закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии . Для этого перейдем от переменной v к переменной =m0v 2 /2. Подставив в (44.4) v = (2//m0 и

Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

Вид дифференциального распределения Максвелла при разных значениях температуры представлен на рис.7.6. Площадь заштрихованной криволинейной трапеции численно равна доле частиц, скорости которых лежат в интервале от до  d Скорость , соответствующая максимуму плотности вероятности , называется наиболее вероятной скоростью. При выполняется равенство . Отсюда получаем, что наиболее вероятная скорость равна:

Поскольку число частиц, даже в малых объёмах вещества, очень велико, то имеет смысл вероятности того, что любая частица идеального газа в единице объёма имеет скорость, лежащую в интервале скоростей от до  d Распределение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:

Среднюю арифметическую скорость определяют как отношение суммы всех скоростей всех молекул в единице объёма к числу молекул в единице объёма: .

Закон Максвелла для распределения молекул по скоростям

где — плотность вероятности скорости, которая означает долю частиц в единице объёма, скорости которых лежат в единичном интервале скоростей вблизи скорости  Тогда доля частиц, скорости которых лежат в интервале от до  d может быть найдена как

Эти скорости мало отличаются друг от друга по своим численным значениям : .

Распределение Максвелла позволяет определить несколько средних скоростей: наиболее вероятную скорость, среднюю арифметическую скорость и среднюю квадратичную скорость.

Скорость , соответствующая максимуму плотности вероятности , называют наиболее вероятной скоростью. Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, она определяется из условия и равна или .

В отличие от распределения Гаусса, распределение Максвелла не симметрично относительно абсциссы максимума функции распределения. Это обусловлено наличием в формуле (7-12) квадрата модуля скорости, кроме экспоненты. При малых скоростях преобладает вклад , поэтому при этих скоростях вид кривой дифференциального распределения (рис.7-6) близок к параболе, при основной вклад вносит экспонента, которая убывает гораздо быстрее, чем растёт парабола. Площадь фигуры под кривой ( ) на рис.7.6 равна единице (условие нормировки) и выражает факт существования молекулы. При возрастании температуры увеличивается наиболее вероятная скорость, а плотность вероятности, соответствующая этой скорости, уменьшается, но площадь фигуры под кривой остаётся неизменной. Интегральное распределение Максвелла показано на рисунке 7.7. Здесь N1/N – доля частиц, скорости которых превышают скорость .

Таким образом, распределение Максвелла – это равновесное распределение идеального газа. Оно устанавливается благодаря столкновениям молекул, которые приводят систему к тепловому равновесию.

Средняя квадратичная скорость определяется как квадратный корень из среднего квадрата скорости и связана со средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Чтобы найти её с помощью распределения Максвелла, нужно определить отношение суммы квадратов скоростей молекул, содержащихся в единице объёма, к числу молекул в этом объёме: .

Давление газа пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т, она равна

Аналогично найдем выражение для среднеквадратичной скорости:

Первое экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном в 1920 г: подтвердилась правильность оценки средней скорости молекул, вытекающей из распределения Максвелла; о характере распределения этот опыт дал лишь приближенные сведения. Более точно закон Максвелла был проверен в опыте Ламмерта (1929 г.).

Наиболее вероятная , средняя арифметическая и

Площадь под кривой равна вероятности достоверного события – встретить молекулу со скоростью, принадлежащей интервалу , то есть равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки:

Выражение для средней скорости определяется по формуле

Из (13) следует, что конкретное распределение зависит от рода газа (от массы молекулы ) и от его термодинамической температуры. Очевидно, что функция распределения не зависит ни от давления, ни от объема газа. График функции распределения имеет вид, показанный на рис. 5.

Применяя методы теории вероятностей, Дж. Максвелл нашел вид функции распределения молекул идеального газа по модулям скоростей хаотического движения:

Выражение представляет собой вероятность встретить молекулу со скоростью, принадлежащей интервалу . Эта вероятность равна площади заштри-хованной полоски с основанием (рис. 5). Относительная доля молекул, имеющих определенную скорость, равна нулю.

При комнатной температуре средняя арифметическая скорость молекул кислорода будет равна:

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям

Если газ находится в равновесии, молекулы движутся хаотически, и все направления их движения равновероятны. Скорости молекул могут быть самыми различными по модулю и при каждом соударении с другими молекулами изменяются случайным образом.

Из формулы (8.2) следует, что при повышении температуры максимум функции

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(υ) — закон для распределения·молекул идеального газа по скоростям:

Исходя из распределения молекул по скоростям

По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m0 в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т= const, остается постоянной и равной υ= .

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа

Подставляя сюда f(υ) и интегрируя, получаем:

Скорость, при которой функция распределения молекул по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростьюυв. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, дифференцируя выражение (8.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу υ, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(υ):

ГЛАВА 8

Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям

Средняя скорость молекулы> (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается стационарное распределение молекул по скоростям, подчиняющееся определенному статистическому закону. Этот закон был выведен теоретически Дж. Максвеллом. Максвелл предполагал, что вещество состоит из очень большого числа тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Также предполагалось, что силовые поля на газ не действуют.

Из функции распределения молекул по модулям скоростей можно получить функцию распределения молекул по кинетическим энергиям теплового движения:

Закон максвелла распределения молекул по скоростям

Выражение для средней скорости <v> определяется по формуле:

Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, то есть:

Из сравнения найденных скоростей вытекает:

Рис. 5. График функции распределения молекул по скоростям

Наиболее вероятная vв, средняя арифметическая <v> и среднеквадратичная скорости <vкв> молекул.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по модулям скоростей. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), скорости которых заключены в этом интервале.

Площадь под кривой f(v) равна вероятности достоверного события – встретить молекулу со скоростью, принадлежащей интервалу (0;∞), то есть равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки: